DEFINICIÓN:
Los números complejos son una extensión de los números
reales, que se componen como la suma de un número real y un número imaginario.
La unidad
imaginaria:
La unidad imaginaria se designa con la letra i y equivale a:
Entonces un número imaginario lo
indicamos de esta forma:
El número imaginario es igual a bi donde b es un número
real y i la unidad imaginaria.
Con estos números imaginarios se pueden resolver raíces con índices
negativos (que por otro medio sería inviable). Por ejemplo:
Potencias de la
unidad imaginaria:
Existen cuatro potencias de la unidad imaginaria que tenemos que
tener claras:
Las potencias siempre se repiten de 4 en cuatro, así, a partir de
estas potencias obtenemos todas las demás, teniendo en cuenta que el resultado
siempre será uno de los 4 vistos anteriormente. Lo hacemos de la siguiente
forma:
Para la potencia i34:
PASO 1: Dividimos
el número por el que esta elevado i por 4:
i34
PASO 2: Colocamos los números obtenidos de la siguiente forma:
Entre paréntesis colocamos
el número imaginario elevado a 4, y a su vez este complejo lo elevamos al
resultado de la división. A continuación multiplicamos ese conjunto, por el
número imaginario elevado al resto.
PASO 3: Nos quedamos
con el número imaginario elevado al resto y vemos a cuál de los 4 números
imaginarios que hemos visto al principio corresponde.
Los números
complejos en forma binómica:
La forma binómica de los números complejos es la siguiente:
Donde a es la parte real del número y b la parte imaginaria.
Cuando el número b es igual a 0 entonces el número es igual a un
número real, y cuando a es igual a 0 el número es solo imaginario, y lo
llamamos imaginario puro.
Números complejos opuestos: Dos números complejos son opuestos si
uno es: a +
bi y el otro: – a
– bi.
Números complejos conjugados: Dos números complejos son conjugados
si uno es: z = a
+ bi y el otro es: z = a
– bi.
Representación de
los números complejos:
Todos los números complejos se pueden representar en los ejes
cartesianos. Para ello debemos saber que:
- En el eje x
colocamos la parte real (a). Por ello, este se llama eje real.
- En el eje y colocamos la parte
imaginaria (b). Por ello, este se llama eje imaginario.
Los número complejos los representamos entonces con las
coordenadas (a, b), que equivalen a los números a y b del número complejo.
Estas coordenadas (a, b) se llama afijo del número complejo.
Entonces por ejemplo, para representar el número: z = 4
+ 2i
Para crear el afijo colocamos primero el número que equivale a la
a y luego el que equivale a la b: (4, 2)
Luego representamos los dos números en el eje como lo hemos hecho
siempre con los números normales:
Para finalizar,
trazamos un vector que sale del origen de coordenadas (0, 0):
CONVERSIÓN DE
COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS:
Para poder convertir las coordenadas de polares a cartesianas,
debemos seguir la siguiente fórmula:
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