NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros
son aquellos formados por los números naturales y sus opuestos negativos.
Como incluyen los números naturales se considera que los
números naturales son un subconjunto de los números enteros.
Se pueden dividir en tres
grupos:
1. Números positivos (o números naturales)
que son los positivos que van desde el 1 en adelante. (1, 2, 3, 4,…)
2. El Zero: 0.
3. Los números negativos, que
incluyen del -1 hacia atrás. (-1, -2, -3, -4,…)
Los números enteros pueden representarse en una coordenada
así:
Cómo ordenamos los
números enteros:
Tenemos que tomar 0 como punto de referencia.
Todos los números positivos son mayores que 0. Cuanto mayor
es el número positivo más grande es su valor.
5 > 6 > 7 >
8 > 20 …
Los números negativos, en cambio, son siempre menores a 0, y
cuando más grande es el número, más pequeño es su valor.
-1 > -2 > -3
> -4 > -18 > -24 …
EL VALOR ABSOLUTO:
El valor absoluto es el valor sin símbolo de los números
enteros. Se expresa así: │+a│. Es
fácil de calcular. Lo hacemos así:
│+a│
= a
Veamos algunos ejemplos:
│ -3 │ = 3
│3 │ = 3
│ -18 │ = 18
│ +6 │ = 6
OPERACIONES CON
NÚMEROS ENTEROS:
1. Suma de números
enteros:
Para sumar números enteros tenemos que saber valorar siempre
en primer lugar el signo de los números.
Si los números que vamos a sumar son positivos, el resultado
será positivo:
+2 +4 = +6
Si los dos números que vamos a sumar son negativos, sumamos
las cantidades, pero el resultado será negativo:
-2 -8 = -10
Si uno de los números es positivo y el otro negativo, para
saber el signo tendremos que ver qué número tiene el valor más alto, por
ejemplo:
- 8 +2 =
En este caso el número con el valor absoluto más alto es -8,
ya que 8 es mayor que 2. Así, el resultado tendrá valor negativo.
-8 +2 = -
Ahora, como los números tienen signo diferente, lo que
hacemos para sumarlos, es restarlos:
8-2= 6
Por tanto:
-8 +2 = -6
¡Truco!
Es fácil sumar o restar números enteros si nos imaginamos en
un ascensor. De la siguiente forma.
-4 +6 = +2
El primer número es -4, así, estamos en un ascensor situados
en la planta -4.
El siguiente número es positivo, así que lo que tenemos que
imaginarnos es que subimos 6 plantas (si el número fuera negativo, bajaríamos 6
plantas). Así, si nos encontramos en la planta -4 y subimos 6, ¿en qué planta
estaremos?
2. Resta de
números enteros:
Para restar números enteros, lo que debemos tener en cuenta
es el signo del número que hay después.
Las restas son del tipo: +2 – (+4) o +2 – (-4) por ejemplo.
Un menos delante de otro número entero, cambia el signo de
ese número, por tanto:
+2 – (+4) = +2 -4 =
Ahora hacemos como en el apartado anterior, y sumamos los
números enteros. En este caso teniendo en cuenta que son de signo diferente y
que el valor absoluto más grande lo tiene el número negativo:
+2 – (+4) = +2 -4 =
-2
En el caso del otro ejemplo:
+2 – (-4) =
El número posterior al signo negativo, es negativo, como el –
delante de un número negativo, le cambia el signo, el número se convierte en
positivo:
+2 – (-4) = +2 +4 =
Ahora solo tenemos que sumar los dos números. Como los dos
son positivos, el resultado también será positivo:
+2 – (-4) = +2 +4 =+6
3. Multiplicación
y división de números enteros:
Para multiplicar y dividir números enteros, debemos hacerlo
por partes.
Primero dividimos o multiplicamos los signos siguiendo estas
normas:
(+) por (+)
|
=
|
(+)
|
(-) por (-)
|
=
|
(+)
|
(+) por (-)
|
=
|
(-)
|
(-) por (+)
|
=
|
(-)
|
Luego tan solo tenemos que dividir o multiplicar los
números.
Veamos un ejemplo:
+ 2 · (-4)=
Primero multiplicamos los signos: (+) · (-) = (-)
Luego multiplicamos los números: 2 · 4 = 6
Resultado: + 2 ·
(-4)= -6
Veamos un segundo ejemplo:
- 8 : (-2) =
Primero dividimos los signos: (-) : (-) = (+)
En segundo lugar dividimos los números: 8 : 2 = 4
Resultado: - 8 : (-2)
= +4
POTENCIAS:
En el caso de las potencias tenemos que saber que funcionan
al igual que en los números naturales, pero que tendremos que tener en cuenta
el signo siempre y si el signo está incluido en la potencia.
Por otro lado, en el
caso de los números positivos (naturales) el resultado siempre será positivo:
(+4)2 =
(+4) · (+4) = +16
El problema estará en los números enteros negativos.
¿Cómo sabemos si el signo está incluido en la potencia?
El signo estará incluido en la potencia siempre que el
número negativo se encuentre entre paréntesis y la potencia fuera del paréntesis,
así: (-3)2
Si el número no se encuentra entre paréntesis, solo tenemos
que elevar el número, dejando el signo tal cual: -32
En este caso sencillo:
-32 = - (3·3) = -9
Ahora tendremos que determinar el signo en el caso de que se
encuentre incluido en la potencia. Si el número está elevado a un número par
(2, 4, 6, 8,…) el resultado será positivo. Si el número está elevado a un
número impar (1, 3, 5, 7, 9,…) el resultado será negativo.
Por tanto:
(-3)2 =
(-3) · (-3) = +9
OPERACIONES
COMPUESTAS:
En el caso de los números enteros, es posible que nos encontremos
con tener que efectuar operaciones combinadas, que incluyan: sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones. Por ejemplo:
(+2 – 4 +7) + 3 (+2
-6 -2)2 – 2 [(2+3) · (+5-10]
El orden en el que tenemos que efectuar las operaciones será el siguiente:
1. En primer lugar efectuamos las operaciones de dentro de
los paréntesis y corchetes.
Si dentro de un paréntesis hay diversas operaciones, las
realizaremos en el mismo orden: primero multiplicaciones divisiones y potencias,
y después sumas y restas.
2. Después efectuaremos divisiones, multiplicaciones y potencias.
3. Por último efectuaremos las sumas y las restas.
Llevamos a cabo el ejercicio anterior:
(+2 – 4 +7) + 3 (+2
-6 -2)2 – 2 [(2+3) · (+5-10]
Primero paréntesis:
(+2 – 4 +7) + 3 (+2 -6 -2)2 – 2 [(2+3) · (+5-10] = (+5) +3 (-6)2 -2[(5) · (-5)]
Ahora realizamos las multiplicaciones, divisiones y
potencias:
(+2 – 4 +7) + 3 (+2 -6 -2)2 – 2 [(2+3) · (+5-10]
= (+5) +3 (-6)2 -2[(5) · (-5)]
=
+5 +3 · 36 - [-25] =
+5 + 108 – [-25]
Ahora solo nos queda efectuar las sumas y restas:
(+2 – 4 +7) + 3 (+2 -6 -2)2 – 2 [(2+3) · (+5-10]
= (+5) +3 (-6)2 -2[(5) · (-5)] =
+5 +3 · 36 - [-25] = +5 + 108 – [-25] = +5 +108 +25 = +138
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