MATEMÁTICAS: OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS

¿Qué es un polinomio?

Un polinomio es una expresión matemática formada por un conjunto de variables desconocidas y otras expresiones constantes.

Normalmente los polinomios se expresan en forma de conjunto de monomios tal que así:

P(x) = 2x³ - 3x² + 4x

Cada una de las expresiones separadas por signos de + o – es un monomio: 2x³, 3x², 4x.

También podemos expresar los polinomios en forma de factorización, es decir como productos, tal que así:

Q(x) = (x-1)(x+3)(x-2)

En este primer apartado aprenderemos a hacer operaciones básicas con los polinomios.

1) SUMA DE POLINOMIOS:

P(x) = 3x⁴ – 2x² + x – 4

Q(x) = 5x³ + 2x² – 4x + 1

P(x) + Q(x)

1. En este caso los polinomios están ordenados, pero si no habría que ordenarlos. Los ordenamos en relación a los exponentes que acompañan a las x.

P(x) = 3x⁴ – 2x² + x – 4

En rojo se marcan los exponentes. La x, tiene exponente 1 y por eso no se indica y el 4 no tiene x (cosa que indica que el exponente es 0) , por lo que será siempre el exponente menor.

2. Agrupamos los dos polinomios en uno solo, colocando los monomios cada uno con los de su grado y respetando los signos de cada monomio:

P(x) = 3x⁴ – 2x² + x – 4

Q(x) = 5x³ + 2x² – 4x + 1

P(x) + Q(x) = 3x⁴ + 5x³ – 2x²  + 2x² + x  – 4x – 4 + 1

3. Sumamos cada monomio con su monomio del mismo grado en caso de que lo haya. Para sumarlos, tan solo sumamos la parte numeral que acompaña a la incógnita (x), por ejemplo:

Si solo hay un monomio de algún grado ese lo dejamos como esta. Así, los dos primeros monomios no los sumamos porque no tienen ningún otro del mismo grado.

Para sumar monomios tan solo tenemos que sumar el número por el que multiplica la x, tal que así:

– 2x²  + 2x²  solo sumamos 2 y -2. Como un número es positivo y el otro negativo tendremos que restar -2 + 2 =  0 como el resultado es 0, esa x queda anulada, así no tendremos x².

Así seguimos calculando:

P(x) + Q(x) = 3x⁴ + 5x³ – 2x²  + 2x² + x  – 4x – 4 + 1 = 3x⁴ + 5x³ -3x -3

Así obtenemos el resultado:

P(x) + Q(x) = 3x4 + 5x3 -3x -3

Otra manera de calcular las sumas de polinomios es la siguiente:

P(x) =	3x4		– 2x2	+ x	– 4
Q(x) =		5x3	+ 2x2	– 4x	+ 1
P(x) + Q(x)	3x4	+5x3	0	– 3x	– 4

En el siguiente vídeo podemos ver como hacerlo. (En construcción)

2) RESTA DE POLINOMIOS:

Para restar polinomios lo que hacemos es cambiar los signos del polinomio negativo y sumar tal cual lo hemos hecho en la suma.

Entonces para:

P(x) = 3x⁴ – 2x² + x – 4

Q(x) = 5x³ + 2x² – 4x + 1

P(x) - Q(x)

Como el menos se encuentra delante de la Q(x) el polinomio que cambiará de signo será Q(x).

Tendremos que:

P(x) = 3x⁴ – 2x² + x – 4

Q(x) = 5x³ + 2x² – 4x + 1

P(x) – Q(x) = 3x⁴ – 2x² + x – 4 – (5x³ + 2x² – 4x + 1)

P(x) – Q(x) = 3x⁴ – 2x² + x – 4 – 5x³ – 2x² + 4x – 1

Ahora tan solo tenemos que sumar o restar los polinomios del mismo grado:

P(x) – Q(x) = 3x⁴ – 5x³ – 2x² – 2x² + x + 4x  – 4  – 1

P(x) – Q(x) = 3x⁴ – 5x³ – 4x² +5x -5

Podemos restar polinomios de la otra forma, al igual que los sumábamos, tal que así, cambiando los signos oportunos:

P(x) =	3x4		– 2x2	+ x	– 4
-Q(x) =		- 5x3	– 2x2	+ 4x	– 1
P(x) + Q(x)	3x4	- 5x3	- 4 x2	+ 5x	– 5

En el siguiente vídeo podemos ver como hacerlo. (En construcción)

3) MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS:

3.1) Multiplicación de un polinomio por un número:

Por ejemplo:

P(x) = 3x⁴ – 2x² + x – 4

2P(x)

Lo único que tenemos que hacer es multiplicar cada monomio que compone el polinomio por el número que nos indiquen, que en este caso es 2.

2P(x) = 2(3x⁴ – 2x² + x – 4)

2P(x) = 6x⁴ – 4x² + 2x – 8

3.2) Multiplicación de un monomio por un polinomio:

Por ejemplo:

P(x) = 3x⁴ – 2x² + x – 4

2xP(x)

Para esto multiplicamos cada monomio del polinomio por el monomio que multiplica, que en esta ocasión es 2x.

2xP(x) = 2x (3x⁴ – 2x² + x – 4)

2xP(x) = 6x⁵ – 4x³ + 2x² – 8x

Multiplicamos cada monomio de manera que en primer lugar multiplicamos el número que acompaña a las x, luego colocamos x y finalmente sumamos los exponentes, de forma que si uno tiene exponente 1 (2x) y el otro tiene exponente 4 (3x⁴), el resultado obtenido sea 6x⁵. Ya que 2x · 3x⁴ = 2·3 x⁴⁺¹ = 6x⁵

3.3) Multiplicación de dos polinomios:

Para multiplicar dos polinomios, tenemos que realizar el proceso anterior, pero multiplicando cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo, así:

P(x) = 3x⁴ – 2x² + x – 4

Q(x) = 5x³ + 2x² – 4x + 1

P(x) · Q(x)

P(x) · Q(x) = (3x⁴ – 2x² + x – 4) · (5x³ + 2x² – 4x + 1)

Multiplicamos el primer monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo:

P(x) · Q(x) = (3x⁴ – 2x² + x – 4) · (5x³ + 2x² – 4x + 1)

P(x) · Q(x) = 15x⁷ + 6x⁶ – 12x5 + 3x⁴

Continuamos multiplicando el segundo monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio:

P(x) · Q(x) = (3x⁴ – 2x² + x – 4) · (5x³ + 2x² – 4x + 1)

P(x) · Q(x) = 15x⁷ + 6x⁶ – 12x5 + 3x⁴  – 10x⁵ – 4x⁴ + 8x³ – 2x²

Hacemos lo mismo con los dos últimos monomios:

P(x) · Q(x) = (3x⁴ – 2x² + x – 4) · (5x³ + 2x² – 4x + 1)

P(x) · Q(x) = 15x⁷ + 6x⁶ – 12x5 + 3x⁴  – 10x⁵ – 4x⁴ + 8x³ – 2x² + 5x⁴ + 2x³ – 4x² + 1x –20x³ – 8x² + 16x – 4

Ahora agrupamos los monomios por su grado y sumamos los polinomios que sea posible sumar porque tengan el mismo exponente:

P(x) · Q(x) = 15x⁷ + 6x⁶ – 12x⁵ – 10x⁵ + 3x⁴  – 4x⁴  + 5x⁴ + 8x³ + 2x³ –20x³  – 2x²– 4x² – 8x²  + 1x + 16x – 4

P(x) · Q(x) = 15x⁷ + 6x⁶ – 22x⁵ + 4x⁴  –10x³  – 14x² + 17x – 4

En el siguiente vídeo podemos ver como hacerlo. (En construcción)

4) DIVISIÓN:

Podemos utilizar dos tipos de técnicas para dividir. Si dividimos un polinomio por otro del tipo (x +/- a) entonces podemos dividir por Ruffini, pero si dividimos un polinomio por otro más grande y de mayor grado entonces tendremos que multiplicar tal como se muestra a continuación:

 P(x) = 3x⁴ – 2x² + x – 4

Q(x) = x² – 4x + 1

P(x) : Q(x)

P(x) : Q(x) = (3x⁴ – 2x² + x – 4) : (x² – 4x + 1)

3x4		– 2x2	+ x	– 4	x2	– 4x	+ 1
- 3x4	+ 12x3	- 3x2			3x2	12x	-53
0	+12x3	-5x2	+x	- 4
	-12x3	- 48x2	-12x
	0	- 53x2	- 12x	-4
		-53x2	+ 212 x	+53
		0	200x	49

Aquí está explicado el proceso:

1. Buscamos un monomio que en multiplicarlo por x² nos de 3x⁴. El monomio será 3x².

Multiplicamos 3x² por todo el polinomio divisor, y colocamos el resultado debajo del polinomio cociente, en caso de obtener algún monomio de un grado que no tengamos lo colocamos en un hueco en blanco (como es el caso de lo subrayado en amarillo), restamos lo que hemos obtenido y repetimos el proceso hasta que el cociente sea menor que el divisor, por lo que multiplicando no podamos obtener ningún resultado.

Podemos ver cómo hacerlo en el siguiente video. (En construcción)

También podemos multiplicar con el método Ruffini, pero lo veremos en su apartado.