MATEMÁTICAS: MÉTODO RUFFINI

POLINOMIOS: EL MÉTODO RUFFINI

El método Ruffini se utiliza en matemáticas para cosas diferentes.

Los usos del Método Ruffini, son:

1. Factorizar polinomios.

2. Teorema del residuo, que es una forma de evaluar polinomios.

3. Dividir polinomios simples.

En primer lugar hablaremos del método Ruffini en sí, de cómo se hace, y luego nos dedicaremos a ver las diferentes aplicaciones. Aunque para el ejemplo factorizaremos un polinomio.

Tenemos un polinomio P(x) = 2x⁴ – 3x² + 1

Necesitamos tener el polinomio por orden de exponentes. En el caso de nuestro ejemplo el polinomio ya está ordenado:

P(x) = 2x⁴ – 3x² + 1 ⁽⁰⁾

Además tenemos que completar el polinomio con los grados que falten, añadiendo un cero delante de ese exponente. En nuestro caso, no tenemos ningún x³ ni x, Así que tendremos que colocarlos antes de comenzar con el método Ruffini.

P(x) = 2x⁴  +0x³ – 3x² +0x + 1

Ahora si podemos empezar con el método Ruffini. Para ello necesitamos colocar los números que acompañan a las x en la siguiente posición:

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1		2	2	-1	-1
	2	2	-1	-1	0

Ahora veremos cómo se hace paso a paso:

1. Colocamos todos los números del polinomio en la parte superior y de forma horizontal:

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1

2. Debemos ahora colocar algún numero en el espacio vertical que sobra, con el que realizaremos el método Ruffini. En el caso de las factorizaciones, nuestro objetivo es que el último número que obtengamos sea 0, luego explicaremos como hacerlo, pero de momento diré que el número adecuado en este caso es 1, así que lo colocamos en su sitio:

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1

3. El siguiente paso es bajar el primer número del polinomio:

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1
	2

4. Multiplicamos este número por el que hemos colocado en la izquierda (1x2) y lo colocamos bajo el siguiente, que es 0:

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1		2
	2

5. A continuación, sumamos los dos números que hay en la segunda columna y indicamos el resultado a bajo (2 + 0):

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1		2
	2	2

6. Ahora repetimos el proceso. Multiplicamos el número obtenido (2) por el número de la izquierda (1), esto sería (1x2)  lo colocamos en la tercera columna, sumamos los dos números de la columna (-3+2) y colocamos el resultado a bajo.

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1		2	2
	2	2	- 1

7. Volvemos a repetir el proceso dos veces más, y obtenemos 0, que en el caso de factorizar es lo que nos interesa:

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1		2	2	-1	-1
	2	2	-1	-1	0

Como estamos factorizando, el proceso aun no habría finalizado, pero explicaremos por separado cada uso del método Ruffini, ahora solo hemos aprendido como realizar el método.

USOS DEL MÉTODO RUFFINI:

1. Factorización de polinomios:

Factorizar un polinomio es convertirlo en un conjunto de productos (multiplicaciones) compuestas por expresiones del tipo: (x + a), donde a es un número.

En el ejemplo anterior, hemos empezado una factorización para explicar el método Ruffini, así que continuaremos con el ejemplo:

P(x) = 2x⁴ – 3x² +x + 1

Aun así explicaremos algunas cosas:

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1		2	2	-1	-1
	2	2	-1	-1	0

 Para factorizar queremos que el número último que obtengamos sea 0, así debemos siempre realizar el método Ruffini con números que sean divisores del último número. En este caso el último número que teníamos era +1, por tanto sólo podíamos probar el método Ruffini por +1 y -1 que son los 2 divisores de 1.

Una vez sabemos cómo realizar el método Ruffini, lo que hacemos es volver a realizar el mismo proceso ahora con el resultado del anterior:

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1		2	2	-1	-1
	2	2	-1	-1	0
-1		-2	0	1
	2	0	-1	0

Hemos probado por -1 y el resultado es 0, por tanto este número también es factor del polinomio que buscamos.

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1		2	2	-1	-1
	2	2	-1	-1	0
-1		-2	0	1
	2	0	-1	0

Seguimos realizando el método Ruffini, como volvemos a tener un -1 en el último lugar, solo podemos probar el método por +1 y -1, probamos con 1:

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1		2	2	-1	-1
	2	2	-1	-1	0
-1		-2	0	1
	2	0	-1	0
1		2	2
	2	2	1

Como no hemos obtenido un valor igual a 0, probamos por -1:

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1		2	2	-1	-1
	2	2	-1	-1	0
-1		-2	0	1
	2	0	-1	0
-1		-2	-2
	2	-2	-3

Como esta vez tampoco hemos obtenido un número igual a 0, esto nos indica que no podemos seguir realizando el método Ruffini, por lo que los resultados los obtendremos en los números que se indican en rojo a continuación:

	2x4	+0x3	– 3x2	0x	+1
	2	0	-3	0	+1
1		2	2	-1	-1
	2	2	-1	-1	0
-1		-2	0	1
	2	0	-1	0
-1		-2	-2
	2	-2	-3

Los dos resultados que hemos obtenido del método han sido:

En primer lugar 1, que convertiremos en (x – 1) ya que siempre cambiamos el signo del número.

En segundo lugar hemos obtenido  -1, que se convertirá en (x + 1).

Por último lo que nos queda sin poder hacer el método Ruffini son los números horizontales 2, 0 y -1, que convertiremos en un polinomio. Pero, ¿De qué grado?

El grado lo determina el polinomio inicial P(x) = 2x⁴ – 3x² +x + 1. Este polinomio era de grado 4, como hemos realizado Ruffini dos veces, el nuevo tendrá dos grados menos, es decir, 2, así esos números 2, 0 y -1 se convertirán en: 2x² + 0x -1, Como 0x es igual a 0 podemos obviarlo, así que el resultado es: 2x² -1

Como paso final, juntamos lo obtenido del método Ruffini (x – 1) y (x + 1) y lo obtenido de no poder seguir factorizando (2x² – 1). Así el resultado es:

(x – 1) (x + 1) (2x² – 1)

Por tanto:

P(x) = 2x⁴ – 3x² +x + 1 = (x – 1) (x + 1) (2x² – 1)

En el siguiente vídeo podéis ver como realizar factorizaciones con el método Ruffini. (En construcción).

2. Evaluación de polinomios:

Evaluar un polinomio es darle un valor. Es decir, sustituir la x por un número concreto, y por lo tanto, obtener un resultado del polinomio.

Podemos evaluar polinomios de forma sencilla, de la siguiente forma:

P(x) = 2x³ – 3x²  + 1

x = 2

Substituimos x por el número 3:

P(3) = 2(2)³ – 3(2)² + 1

P(3) = 2 (8) – 3 (4) +1

P(3) = 16 – 12 + 1

P(3) = 5

Así para x = 2 el polinomio es igual a 5.

Aún y que es fácil evaluar así un polinomio, otra forma de hacerlo es con el método Ruffini, de forma, que el número por el que evaluamos (3 en este caso), será el que colocaremos a la izquierda:

	2x3	– 3x2	0x	+1
	2	-3	0	+1
2		4	2	4
	2	1	2	5

El número que obtenemos al final es igual a 5, así, ese es el resultado del polinomio para x = 2.

En el siguiente vídeo puedes ver como hacerlo. (En construcción)

3. División de polinomios:

Aunque hemos visto otra forma de dividir polinomios, cuando el cociente es un polinomio simple del tipo (x + a) siendo a un número, podemos dividir utilizando el método Ruffini:

(x³ + 4x² + 5x + 2) : (x-2)

Realizamos el método Ruffini cambiando de signo el número que colocaremos a la izquierda, que es el que se encuentra en (x-2), en este caso. Así realizamos el método Ruffini:

	x3	4x2	5x	+2
	1	4	5	+2
2		4	16	42
	2	8	21	44

En este caso, una vez realizado Ruffini el último número obtenido será el resto de la división, en este caso 44, y los otros (2, 8 y 21) serán el resultado.

Para saber el grado de el polinomio nos fijamos en el grado que tenia el inicial, que podemos observar que era de grado 3, así el nuestro será de grado 2, es decir, uno menos. Así el resultado será: 2x² + 8x +21.

En el siguiente vídeo vemos como se hace. (En construcción).