Educa-T: MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA - Posiciones relativas de dos rectas

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS:

Puntos:

Un Punto sirve para indicar una posición en un plano. Los puntos no tienen dimensiones y se nombran con letras mayúsculas.

En un eje de coordenadas, los puntos se definen como (x, y), es decir que tienen una posición en el eje x y una en el eje y, y ahí donde confluyen esos dos puntos, es donde se encuentra ubicado dicho punto en el mapa.

Veamos por ejemplo, para ubicar el punto A = (2, -4) en el eje de coordenadas:

El primer término siempre corresponde al eje de las x, en este caso, indicamos el punto 2:

A continuación indicamos el punto de las y, que en este caso es el -4:

A continuación trazamos dos líneas rectas hasta que confluyan los dos puntos:

Este punto donde confluyen las dos rectas, es el que pertenece al punto (2, -4):

Una recta, es el conjunto de todos los puntos del plano alineados donde se encuentra la línea. Además las rectas se alinean a partir de un punto y con una dirección que es un vector. Todas las rectas podemos definirlas numéricamente a partir de distintas ecuaciones.

Rectas:

Mediante dos puntos se determina una recta. Las rectas tienen sólo una dimensión, que es la longitud. Designamos una recta a partir de los dos puntos o con una letra minúscula.

Cuando dos rectas se cortan determinan un punto, por ejemplo en el ejemplo, las dos rectas determinan el punto E:

Según la posición que ocupan dos rectas, estas pueden ser:

a) Paralelas: Si mantienen una equidistancia entre ellas. Son rectas que nunca se tocan en ningún punto.

b) Secantes: Dos rectas son secantes si se cortan en algún punto.

Cuando las dos rectas se cortan en algún punto formando un ángulo de 90º las llamamos perpendiculares.

c) Coincidentes: Dos rectas son coincidentes cuando ocupan el mismo lugar del espacio, es decir, cuando comparten todos los puntos.

Ecuaciones de la recta:

1. Ecuación vectorial de la recta:

Los vectores v y u pertenecen al eje de coordenadas, v pertenece al eje y, y u al eje x, a partir de estos vectores se determina un punto X y un vector que tiene como origen el punto P.

Como vemos en el dibujo anterior, la recta la podemos definir tan solo con el vector v, que indica la dirección de la recta y lo llamaremos vector director, y el punto X y P. Entonces la recta está definida por PX.

La ecuación vectorial vendrá determinada por el punto de la recta (X) y el vector multiplicado por una constante.

Entonces:

Así que:

EJEMPLOS:

1. Calcula La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A (-2,4) y tiene un vector director v (2, 2):

2. Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos C(1, -1) y D(2, -4).

En este caso no tenemos vector director, por lo que lo tendremos que calcular. El vector director será el formado por los puntos CD:

Ahora ya tenemos el vector director y por tanto podemos trabajar con uno de los puntos y este vector:

2. Ecuaciones paramétricas de la recta:

A partir de la ecuación vectorial obtendremos las ecuaciones paramétricas de la recta.

EJEMPLOS:

1. Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A (-2,4) y tiene un vector director v (2, 2):

Entonces:

2. Calcula las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por los puntos C(1, -1) y D(2, -4).

En primer lugar debemos calcular el vector director, que pasara por los mismos puntos que la recta, por lo que lo calculamos así:

Ahora si calculamos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Entonces:

3. Ecuación continua de la recta:

Para formar esta ecuación despejaremos la constante k de las ecuaciones paramétricas.

EJEMPLOS:

1. Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto A (-2,4) y tiene un vector director v (2, 2):

Entonces:

2. Calcula la ecuación continua de una recta que pasa por los puntos C(1, -1) y D(2, -4).

En primer lugar debemos calcular el vector director, que pasara por los mismos puntos que la recta, por lo que lo calculamos así:

Ahora calculamos la ecuación continua de la recta:

Entonces:

4. Ecuación punto pendiente de la recta:

A partir de la ecuación continua de la recta, generaremos la ecuación punto pendiente:

EJEMPLO:

1. Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto A (-2,4) y tiene un vector director v (2, 2):

Calculamos la pendiente:

Entonces calculamos la ecuación punto pendiente de la recta:

Entonces:

2. Calcula la ecuación continua de una recta que pasa por los puntos C(1, -1) y D(2, -4).

En primer lugar debemos calcular el vector director, que pasara por los mismos puntos que la recta, por lo que lo calculamos así:

A continuación calculamos la inclinación a partir del vector:

Ahora calculamos la ecuación punto pendiente de la recta:

Entonces:

3. Calcula la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por el punto A (2, 3) y que tiene una inclinación de 45º.

Para saber el valor de la inclinación cuando nos dan la inclinación en grados tendremos que hacer la tangente:

Ahora que sabemos que la inclinación es 1, m = 1, entonces calculamos la ecuación de la recta:

Entonces:

5. Ecuación implícita de la recta:

La ecuación implícita de la recta, también la llamamos ecuación general de la recta. A partir de la ecuación continua de la recta, generaremos la implícita: