MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA: Vectores: Conceptos básicos

VECTORES:

CONCEPTOS BÁSICOS:

Un vector es un segmento que tiene un punto de origen (A) y uno de extremo (B) y que tiene una orientación en el espacio.

Vemos un vector:

Un vector tiene distintos elementos:

1. Dirección: La dirección de un vector es equivalente a la dirección de la recta que contiene al vector o cualquiera de sus rectas paralelas.

2. Sentido: El sentido del vector es hacia dónde va el vector. Cada vector puede tener dos sentidos, y gráficamente, el sentido lo indica la punta de la flecha.

3. Módulo: El módulo del vector es igual a la longitud del segmento que forma el vector.

Este módulo lo podemos determinar de dos formas:

            a) A partir de las componentes del vector:

            

            EJEMPLO: Determina el módulo del vector u (2, 6):

            

           Aplicamos la fórmula:

            

            b) A partir de las coordenadas de los puntos que forman el vector:

EJEMPLO: Determina el módulo del vector que tiene origen en el punto A (2,3) y el extremo en el punto B (6, 6).

            Aplicamos la fórmula:

4. Coordenadas de un vector: Determinaremos las coordenadas del vector en función del punto del origen y del punto del extremo del segmento que forma el vector.

EJEMPLO: Calcula las coordenadas de un vector que tiene como origen el punto A (1, 4) y como extremo el punto B (4, 8)

Tenemos los puntos:

Aplicamos la fórmula para saber las coordenadas del vector:

Tipos de vectores:

1. Vectores equipolentes: Son vectores equipolentes los que tienen la misma dirección, sentido y módulo.

2. Vectores libres: El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

3. Vector fijo: Un vector fijo es un representante del vector libre. Así que los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

4. Vectores ligados: Los vectores ligados son vectores equipolentes que se encuentran en la misma recta.

5. Vectores opuestos: Los vectores opuestos son vectores que tienen el mismo módulo y dirección pero diferente sentido.

6. Vectores unitarios: Los vectores unitarios tienen módulo 1.  Para obtener el vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que otro vector debemos aplicar la fórmula siguiente:

EJEMPLO: Calcula el vector unitario del vector v (2, 4):

Calculamos el módulo de v:

Una vez encontrado el módulo de v, aplicamos la fórmula para encontrar el vector unitario:

7. Vectores concurrentes: Los vectores concurrentes son vectores que tienen el mismo origen.

8. Vectores de posición: Los vectores de posición son aquellos que tienen como origen el punto 0 de coordenadas.

9. Vectores linealmente dependientes: Los vectores linealmente dependientes son aquellos que al combinarlos linealmente son igual a 0, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Dos vectores son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales:

10. Vectores linealmente independientes: Dos o más vectores son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

EJEMPLOS:

1) Determina si los vectores u (2,7) y v (4,14) son vectores linealmente independientes o dependientes:

Si estos vectores son linealmente dependientes se tiene que cumplir que:

Comprobamos:

Como las dos divisiones dan el mismo resultado, los vectores son linealmente dependientes.

2) Determina si los vectores u (3, 6) y v (2, 8) son linealmente dependientes o independientes.

Dos vectores son linealmente dependientes si:

Comprobamos para nuestros vectores:

Como las dos divisiones no dan el mismo resultado, podemos determinar que los dos vectores son linealmente independientes.

11. Vectores ortogonales: Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero.

12. Vectores ortonormales: Dos vectores son ortonormales si su producto escalar es cero o si los dos son vectores unitarios.