MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA - Vectores en el espacio: Conceptos básicos

CONCEPTOS BÁSICOS:

Los vectores en el espacio son vectores que tienen 3 componentes. El primero de los componentes hace referencia al eje x, el segundo al eje y, y el tercero al eje z

.

Los ejes de coordenadas de tres dimensiones son así:

Un punto determinado por tres coordenadas tiene la siguiente forma: P (x,y,z)

Un vector en el espacio es un segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en otro. Lo expresamos como:

Un vector lo obtenemos a partir de dos puntos, el punto de origen A y el punto extremo B.

Para encontrar el vector determinado por estos dos puntos lo hacemos así:

EJEMPLO: Determina el vector que tiene su origen en el punto A (2,3,1) y B (2,4,1):

Módulo de un vector:

El módulo es la longitud del segmento que forma el módulo. Este número siempre es positivo y solo es igual a cero en los vectores nulos.

Lo calculamos de dos formas, en función de cómo tengamos expresado el vector:

a) Conociendo las componentes del vector:

EJEMPLO: Calcula el módulo del vector u (2, 1, 3):

b) Conociendo los puntos que forman el vector:

EJEMPLO: Calcula el vector que tiene origen en el punto A (2, 2, 2) y B (1, 3, 4):

Para calcular la distancia entre dos puntos también lo podemos hacer encontrando el módulo del vector que forman estos dos puntos.

EJEMPLO: Que distancia hay entre los puntos A (2, 4, 1) y B (0, 2, 3)

Vector unitario:

El vector unitario tiene como módulo el 1.  Para encontrar el vector unitario de un vector utilizamos la fórmula siguiente:

EJEMPLO: Cual es el vector unitario del vector v (2, 4):

Buscamos el módulo del vector:

Ahora encontramos el vector unitario del vector v:

Vectores linealmente dependientes:

Dos o más vectores son linealmente dependientes si al combinarlos linealmente son igual a 0.

Vectores linealmente independientes:

Dos vectores son linealmente independientes si al combinarlos no son igual a cero.