MATEMÁTICAS: DERIVADAS - Derivadas de funciones trigonométricas

DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA:

Una función trigonométrica es aquella que tiene alguna incógnita influenciada por alguna función trigonométrica.

Para derivarla lo hacemos en según el tipo de función trigonométrica:

Consideraremos u como un polinomio y u’ como la derivada de esta función.

1. Derivada de la función seno:

Por ejemplo:

Derivamos el polinomio que acompaña al seno:

Finalmente, lo multiplicamos por su función inversa, el coseno, de la función sin derivar.

2. Derivada de la función coseno:

Por ejemplo:

En primer lugar hacemos la negativa del polinomio que acompaña al coseno:

Seguidamente, por último, esto lo multiplicamos por el seno de la función sin derivar:

3. Derivada de la función tangente:

La derivada de la tangente, puede tener tres formas:

Por ejemplo:

FORMA 1:

En primer lugar derivamos el polinomio y lo ponemos como numerador de un cociente:

Finalmente colocamos como denominador el doble del coseno de la función original:

FORMA 2:

En primer lugar derivamos el polinomio que acompaña a la tangente:

Finalmente le multiplicamos el doble de la secante del polinomio original:

FORMA 3:

En primer lugar derivamos el polinomio que acompaña a la tangente:

Finalmente, le multiplicamos 1 + tg² de la función original:

4. Derivada de la función cotangente:

Podemos derivar de tres formas diferentes:

Por ejemplo:

FORMA 1:

En primer lugar derivaremos el polinomio que acompaña a la cotangente y lo colocaremos como numerador de un cociente:

Finalmente, colocamos el denominador, que será el seno al cuadrado del polinomio original:

FORMA 2:

En primer lugar debemos derivar el polinomio que acompaña a la cotangente y cambiarle el signo:

Finalmente, le multiplicamos el cuadrado de la cosecante del polinomio de la función:

FORMA 3:

En primer lugar colocaremos el polinomio derivado cambiado de signo:

A continuación le multiplicaremos 1 + cotg² de la función original:

5. Derivada de la función secante:

Podemos derivar de dos formas:

Por ejemplo:

FORMA 1:

Para hacer el numerador, en primer lugar derivamos el polinomio que acompaña a la función secante:

A continuación multiplicamos al numerador el seno de la función:

Finalmente, en el denominador colocamos el coseno al cuadrado de la función:

FORMA 2:

En Primer lugar derivamos el polinomio que acompaña a la secante:

A continuación multiplicamos la secante del polinomio:

Finalmente, multiplicamos por la función tangente del polinomio:

6. Derivada de la función cosecante:

Podemos derivar de dos formas diferentes:

Por ejemplo:

FORMA 1:

En primer lugar colocamos el signo menos delante de una fracción cuyo nominador será la derivada del polinomio de la función:

A continuación en el numerador multiplicamos el coseno de la función:

En el denominador, colocamos el cuadrado del seno del polinomio inicial:

FORMA 2:

En primer lugar colocamos el signo menos delante de la función derivada:

A continuación le multiplicamos la cosecante de la función:

Finalmente le multiplicamos la cotangente de la función:

Derivadas de funciones trigonométricas inversas:

1. Derivada de la función arco seno:

Por ejemplo:

En primer lugar derivamos la función que acompaña al arco seno y la colocamos como el numerador de un cociente:

En segundo lugar colocamos el denominador que será una raíz cuadrada de 1 menos la función al cuadrado:

2. Derivada de la función arco coseno:

Por ejemplo:

En primer lugar colocamos el signo negativo, y un cociente, donde el numerador será la derivada del polinomio que acompaña al arco coseno:

Finalmente, colocamos el denominador que será la raíz cuadrada de 1 menos la función al cuadrado:

3. Derivada de la función arco tangente:

Por ejemplo:

En primer lugar generamos un cociente que tendrá como numerador el polinomio de la función derivada:

Finalmente, el denominador será 1 más la función al cuadrado:

4. Derivada de la función arco cotangente:

Por ejemplo:

En primer lugar colocamos el signo negativo de un cociente donde el numerador será la función derivada:

Finalmente colocamos el denominador, que será 1 más la función al cuadrado:

5. Derivada de la función arco secante:

Por ejemplo:

En primer lugar colocamos la derivada del polinomio de la función como numerador de un cociente:

Ahora nos encargamos del denominador. En primer lugar colocamos el polinomio de la función sin derivar:

Finalmente, multiplicamos en el denominador, la raíz cuadrada del polinomio sin derivar al cuadrado menos 1:

6. Derivada de la función arco cosecante:

Por ejemplo:

En primer lugar colocamos el signo negativo delante de un cociente donde el numerador será el polinomio de la función derivado:

A continuación nos ocupamos del denominador, y en primer lugar colocaremos el polinomio sin derivar:

Finalmente, al denominador le multiplicamos la raíz del cuadrado del polinomio de la función menos 1: