Derivadas inmediatas:
Las derivadas inmediatas son aquellas que se obtienen sin la
necesidad de realizar muchos cálculos o procedimientos.
1) Derivada
de una constante: Una constante es un número, y la derivada de un
número siempre es igual a 0.
Veamos un ejemplo:
Si la función es:
Su derivada es:
Siempre que derivemos un número, una constante, el resultado
será cero.
2) Derivada de x: La derivada de x
siempre es igual a uno.
Veamos:
Su derivada será:
3) Derivada de una
función lineal: Una función lineal es aquella que tiene números y x, pero solo
elevados a 1. Su derivada siempre será el número que multiplique a x, y si a x
no la acompaña ningún número, la derivada será 1.
Entonces:
Veamos un ejemplo:
Entonces:
4) Derivada de una
potencia: Aquí distinguiremos dos casos:
- Cuando la función es x elevada a un número:
Veamos un ejemplo:
Pasamos el exponente a
multiplicar y restamos una unidad al exponente:
- Cuando la función es un polinomio elevado a algún número:
Primero elevamos la potencia, y luego derivamos el polinomio,
siguiendo siempre las normas anteriores.
Veamos un ejemplo:
En primer lugar
elevamos la potencia sin tocar el polinomio:
A continuación y
multiplicando esto primero, debemos derivar el polinomio de dentro de la
potencia, siguiendo las normas anteriores.
Una vez hemos llegado aquí,
hemos acabado la derivación.
5) Derivada de una raíz: Para realizar la
potencia de una raíz, tendremos que interpretarla como una potencia. De forma
que, es igual expresar una raíz así:
Que en forma de potencia:
Para expresar la raíz en forma de potencia debemos poner la raíz
como denominador y el exponente del número como denominador de un exponente que
potencia al número.
Vemos ejemplos:
Para derivar una raíz, en primer lugar debemos convertirla en
potencia, y luego en segundo lugar hacemos igual que lo hacíamos con las
potencias en el apartado anterior.
Dependerá de si la función es un polinomio o una sola x
derivaremos directamente o derivaremos primero la raíz y después el polinomio:
- Derivada de una raíz de una sola x:
Convertimos la raíz en
potencia:
Ahora derivamos de la
misma forma que lo hemos hecho anteriormente con las potencias, ya que ahora
nuestra raíz es una potencia:
Entonces la derivada
será:
- Derivada de una raíz de un polinomio:
En primer lugar
convertimos la raíz en una potencia:
Ahora si podemos
derivar. En primer lugar derivamos la raíz:
Finalmente derivamos el
polinomio, multiplicándolo con la derivación de la raíz:
Para posibles futuros cambios, si conviene podemos volver a
convertir la potencia en raíz haciendo el proceso inverso de antes:
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