PRISMAS Y PIRÁMIDES:
PRISMAS:
Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas iguales
llamadas bases y que sus caras laterales son paralelogramos.
Vemos un prisma a continuación:
Desarrollar un prisma
es desmontarlo para ver las figuras geométricas que lo forman, vemos a
continuación el desarrollo del prisma anterior:
Un prisma tiene distintos elementos:
1. Altura: La altura de un prisma
se mide como la distancia que hay entre las dos bases de este:
2. Lados: Los lados de las
bases de un prisma constituyen las aristas básicas y los lados de las caras
laterales, estas aristas son iguales y paralelas entre sí.
De un prisma podemos calcular, el perímetro de sus bases, el
área de las bases y también de los lados y el volumen.
Perímetro de las bases
(PB): Suma de todos los lados de la base. Debemos saber cuánto mide
cada lado.
Por ejemplo: Cuánto mide el perímetro de un prisma de base
pentagonal que todos sus lados de la base miden 2 cm:
Área de la base (AB):
Para
medir el área o superficie de la base, debemos seguir la fórmula adecuada según
la figura plana que sea la base.
Por ejemplo, en el caso del prisma siguiente la base es un
pentágono, y la fórmula para calcular la superficie de un pentágono es la
siguiente:
Por ejemplo, ¿cuánto mediría el área de la base del prisma
anterior de 2 cm de lado en la base, que tiene una apotema de 4 cm?
Área lateral (AL):
El
área lateral de un prisma es el área de los lados del prisma. Para calcularla
seguiremos la siguiente fórmula:
Por ejemplo, para calcular la base lateral del prisma de 2 cm de
lado y 4 cm de apotema que tiene una altura de 10 cm, aplicamos la fórmula:
Área total (AT):
El
área total de un prisma es la superficie que ocupan todas las figuras del
prisma. Se calcula con la siguiente fórmula:
Por ejemplo, el área total del prisma anterior es:
Volumen (V): El volumen es la
capacidad de contener que tiene el objeto. Es decir, cuanto ocupa en el
espacio. Para calcular el volumen de un prisma seguimos la fórmula siguiente:
Por ejemplo, el volumen de la figura anterior es:
Tipos de prismas:
PIRÁMIDES:
Las pirámides son poliedros que tienen como base un polígono
cualquiera y que sus caras laterales son triángulos con un vértice común que es
el vértice de la pirámide (indicado de negro en la figura siguiente):
Es decir, se diferencian de los prismas en que las pirámides
tienen solo una base y los prismas dos.
Las pirámides tienen distintos elementos:
1. Altura: Es el segmento que une
la base con el vértice. Indicada en rosa
en la siguiente imagen:
2. Apotema: La apotema de una
pirámide es la altura de cualquiera de sus caras laterales. La indicamos en
rosa en la figura siguiente:
3. Aristas: Las aristas de la base
de la pirámide son las aristas básicas y las que concurren en el vértice son
aristas laterales.
Podemos calcular distintas medidas de una pirámide. Estas
medidas son: el perímetro de la base, el área lateral, el área total y el
volumen. Vemos cómo hacerlo a continuación:
Para calcular el perímetro
de la base (PB) debemos sumar todos los lados del polígono que
forma la base de la pirámide.
Por ejemplo, ¿Cuánto mide el perímetro de la base de una
pirámide de base cuadrada que todos sus lados miden 2 cm?
Área lateral (AL):
El
área lateral es la superficie que ocupan los laterales del prisma. Para
calcularla, seguimos la siguiente fórmula:
Por ejemplo, ¿Cuánto mide el área lateral de una pirámide de
base cuadrada y 2 cm de lado en la base, y que tiene una apotema de 4 cm?
Área de la base (AB):
El
área de la base es la superficie que ocupa la base de la pirámide, y para
calcularla debemos seguir la fórmula indicada dependiendo del tipo de polígono.
Por ejemplo, en nuestro caso, la cara es un cuadrado, así que el
área de la base la calcularemos con la fórmula del área del cuadrado.
Entonces:
Finalmente, podemos calcular el volumen (V), que es el espacio que ocupa la pirámide en el espacio.
Lo haremos con la siguiente fórmula:
Por ejemplo, para calcular el volumen de la pirámide anterior
que tiene una base cuadrada de 2 cm de lado, una apotema de 4 cm y una altura
de 6 cm, aplicamos la fórmula:
Tipos de pirámides:
TRONCO DE PIRÁMIDE:
El tronco de pirámide es un cuerpo geométrico que se obtiene al
cortar la punta de una pirámide por un plano paralelo a la base.
El tronco de pirámide tiene distintos elementos:
1. Base menor: Es la sección
determinada por el corte. Donde se observa un polígono igual al de la base pero
más pequeño. Lo vemos pintado de rosa en la imagen siguiente:
2. Caras laterales: Las caras laterales del
tronco de pirámide son trapecios isósceles. Vemos una de ellas pintada de rosa
en la siguiente imagen.
3. Apotema: La apotema es la altura
de alguna de las caras laterales. Vemos una apotema pintada de rosa en la
siguiente imagen.
4. La altura es la distancia que hay entre las bases:
5. La pirámide deficiente es la parte de la pirámide determinada por la
base menor y el vértice, es decir, la parte de la pirámide que hemos desechado.
Sería otra pirámide de menor tamaño. La vemos dibujada de rosa
en la siguiente imagen.
De un tronco de
pirámide podemos calcular distintos parámetros.
En primer lugar, el perímetro de las bases, que como tienen
tamaños diferentes tendrán valores diferentes. El perímetro es lo que miden las
rectas empleadas para formar las bases.
Por ejemplo, si los
lados de la base mayor hacen 4 cm y los lados de la base menor 2 cm, ¿Cuánto miden los perímetros de las bases?
El perímetro de la base mayor lo
indicamos con PB y el
perímetro de la base menor lo indicamos como P’B.
En segundo lugar podemos calcular las áreas de las bases,
siendo también A el área de la base mayor, y A’ el área de la base menor.
Para calcular las áreas
de las bases deberemos seguir la fórmula correcta en función del polígono que
forme las bases.
En este ejemplo como la
base es un pentágono deberemos usar la fórmula de los polígonos para encontrar
el área:
Entonces, ¿Cuál será el
área de las bases de un tronco de pirámide cuya base mayor tiene un lado de 4
cm y una apotema de 3 cm, y cuya base pequeña tiene un lado de 2 cm y una
apotema de 1 cm?
El área lateral (AL) es el área de las caras laterales del
tronco de pirámide.
Para calcularlo,
debemos seguir la siguiente fórmula:
Entonces, en nuestro
tronco de pirámide que tiene una apotema de 6 cm ¿cuál es su área lateral?
Podemos encontrar el área total del cuerpo sumando las áreas
de las bases y el área lateral.
Entonces para nuestra
figura:
Finalmente, podemos
calcular el volumen de nuestra
figura, con la fórmula siguiente:
Entonces, si en nuestro
ejemplo, el tronco de pirámide tiene una altura de 5 cm, ¿cuál será el volumen
del tronco de pirámide?
No hay comentarios:
Publicar un comentario