MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA - Trigonometría

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:

Primero debemos saber, que las razones trigonométricas se basan en los triángulos rectángulos, y el ángulo (no recto) que se forma en ellos. Así, un ángulo rectángulo tiene las partes siguientes:

Explicaremos como determinar las razones trigonométricas, a partir del siguiente triangulo, para el ángulo B:

1. El seno:

Dominio:	R (Todos los números reales)
Recorrido:	[-1,1]
Período:	2∏ rad

2. El coseno:

Recorrido:	[-1,1]
Período:	2∏ rad

3. Tangente:

Recorrido:	R
Período:	∏ rad

4. Cosecante:

Recorrido:	R
Período:	∏ rad

5. Secante:

Recorrido:	(-∞,-1] U [1, ∞)
Período:	2∏ rad

6. Cotangente:

Recorrido:	(-∞,-1] U [1, ∞)
Período:	2∏ rad

Ejemplo: Halla las razones trigonométricas del ángulo α del siguiente triángulo:

Para hallar el seno aplicamos la fórmula:

De la misma forma hallamos el resto de razones trigonométricas:

LA CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA:

Una circunferencia goniométrica es aquella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. Nos sirve para hallar las razones trigonométricas de cada ángulo.

Así si queremos encontrar las razones trigonométricas del ángulo (α) las encontramos así con la circunferencia goniométrica:

En esta circunferencia, los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en el sentido contrario a las agujas del reloj.

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES:

Ejemplo: Halla las razones trigonométricas del ángulo α sabiendo que sinα = 0,60:

Podemos encontrar la cosecante, ya que es la inversa del seno:

Si sabemos que el seno del ángulo es 0,60 podemos calcular el coseno con la fórmula:

Sabiendo el coseno, ahora podemos encontrar la secante, ya que es la inversa del coseno:

Ahora que hemos encontrado el seno y el coseno podemos encontrar la tangente:

Ahora encontrada la tangente, encontramos la cotangente ya que es la inversa de la tangente:

TEOREMAS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:

β es el ángulo complementario de α

Teorema del seno:

Cada ángulo del triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

Teorema del coseno:

Teorema de la tangente:

Ejemplo: A partir del teorema del triángulo, halla los ángulos B y C, y el lado c.

Calculamos el ángulo B, porque conocemos dos lados y el ángulo opuesto a B:

Ahora que sabemos el seno, con el arcoseno (o sen^-1) conocemos el ángulo, ya que esta es la función que nos permite conocer el ángulo:

Ahora podemos encontrar el ángulo C porque conocemos dos ángulos y un lado. El ángulo de C lo encontramos, teniendo en cuenta que todos los ángulos de un triángulo suman 180º, por tanto al conocer los otros dos ángulos encontramos C así:

Ahora encontramos el lado c aplicando el teorema del seno:

ÁNGULO DE UN TRIÁNGULO:

Pero también podemos calcularla como:

O También:

Fórmula de Herón: